Abstract
In this brief, we present a set of techniques for finding a cost function to the time-invariant linear quadratic regulator (LQR) problem in both continuous- and discrete-time cases. Our methodology is based on the solution to the inverse LQR problem, which can be stated as: does a given controller K describe the solution to a time-invariant LQR problem, and if so, what weights Q and R produce K as the optimal solution? Our motivation for investigating this problem is the analysis of motion goals in biological systems. We first describe an efficient linear matrix inequality (LMI) method for determining a solution to the general case of this inverse LQR problem when both the weighting matrices Q and R are unknown. Our first LMI-based formulation provides a unique solution when it is feasible. In addition, we propose a gradient-based, least-squares minimization method that can be applied to approximate a solution in cases when the LMIs are infeasible. This new method is very useful in practice since the estimated gain matrix K from the noisy experimental data could be perturbed by the estimation error, which may result in the infeasibility of the LMIs. We also provide an LMI minimization problem to find a good initial point for the minimization using the proposed gradient descent algorithm. We then provide a set of examples to illustrate how to apply our approaches to several different types of problems. An important result is the application of the technique to human subject posture control when seated on a moving robot. Results show that we can recover a cost function which may provide a useful insight on the human motor control goal
چکیده
در این قسمت به طور خلاصه مجموعه ای از تکنیک ها برای کشف تابع هزینه در مسئله رگلاتور درجه دوم خطی متغیر زمان ثابت در موارد زمانی پیوسته و گسسته می پردازیم. روش شناسی ما بر اساس راه حلی در مسائل lQR معکوس می باشد که می توان ان را به این صورت بیان کرد: ایا کنترلر فرضی K راه حل را در مسئله زمان ثابت LQR توصیف می کند و اگر این چنین باشد در چه اوزانی R، Q و K را به عنوان راه حل بهینه تولید می کند؟ انگیزه ما برای تحقیق در این مسئله، تحلیل اهداف حرکتی در سیستم های زیست محیطی می باشد. ابتدا روش ماتریس نابرابری خطی را توصیف می کنیم تا راه حل موارد معمول این مسئله معکوس LQR را در زمان نامشخص بودن هر دو ماتریس وزن دهی R,Q ارائه کنیم. اولین فرمول مبتنی بر LMI ما، راه حلی یکتا در صورت امکان ارائه می کند. علاوه بر این روش مینیمم سازی حداقل مربع ها مبتنی بر شیب را نیز ارائه می کنیم که می تواند در تقریب زدن یک راه حل هنگام امکان پذیر نبودن LMI ها اعمال شود. این روش در عمل بسیار پر کاربرد می باشد، زیرا ماتریس دست اورد تخمینی K از داده های ازمایشی پارازیت دار می تواند توسط خطای تخمین دچار مشکل شود که منجر به عدم امکان پذیری LMI می شود. همچنین یک مسئله مینیمم سازی LMI را برای کشف نقطه اغازین مناسب برای مینیمم سازی با استفاد از الگریتم گرادینت ارائه می کنیم. سپس مجموعه ای از مثال ها را برای نمایش چگونگی به کارگیری رویکردهای ما در انواع مختلف مسائل ارائه می کنیم. یکی از نتایج مهم بکارگیری این تکنیک در انسان ها برای کنترل حرکت ربات های متحرک می باشد. نتایج نشان می دهد که می توانیم تابع هزینه ای را بازیابی کنیم که بینش های مفیدی در هدف کنترلی موتوری توسط انسان ها ارائه کند.
1-مقدمه
علم سیستم ها ابزارهای مفید متعددی برای سیستم های زیست محیطی تولید کرده است. استفاده از روش های شناسایی سیستم ها در کنترل موتور توسط انسان به محققان اجازه داده است که پارامتر های فیزیولوژیکی، دست اورد های کنترلی و پهنای باند کنترلی برای کارهای حرکتی متنوعی تعیین کنند. هدف محققان بیومکانیک اغلب تعیین تفاوت هایی می باشد که بین موضوعات مرتبط با سلامت یا زجر ناشی از بیماری وجود دارد...